Ecuación cartesiana de la elipse

LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA

-Conceptos y elementos de la elipse

Una elipse se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Su representación gráfica es:

Elementos de la elipse:

1.  Focos: son los puntos fijos F y F’.
2.  Eje focal: es la recta que pasa por los focos.
3.  Eje secundario: es la mediatriz del segmento FF’.
4.  Centro: es el punto de intersección de los ejes.
5.  Radios vectores: son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los   focos PF y PF’
6.  Distancia focal: es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia   focal.
7.  Vértices: son los puntos de intersección de la elipse con los ejes A, A’ y B, B’.
8.  Eje mayor: es el segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.
9.  Eje menor: es el segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.
10.  Ejes de simetría: son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor. 
11.  Centro de simetría: coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección    de los ejes    de simetría.

      ¿Cómo graficarla?

Una elipse horizontal con centro en el origen tiene una excentricidad
y las coordenadas de sus focos son. Hallar la ecuación de dicha elipse y dibuje su gráfica.

Solución:

Inicialmente conviene graficar los datos del enunciado, en este caso los focos y el centro, los cuales se muestran en la figura.

 

Recordando que la distancia del centro de una elipse a cualquiera de los focos es c, se tiene entonces que. Además, como el centro está en el origen, se obtiene que.

Por otra parte, sabiendo la excentricidad que está dada por la relación

 

Conociendo los valores de e y de c se obtiene que

 

De donde

 

Conociendo los valores de las constantes a=4 y c=3.464 se calcula que b es igual a:

 

Por lo tanto, su ecuación es

La gráfica se muestra en la figura

-Conceptos y elementos de la hipérbola 

 

Elementos de la Hipérbola

1.  Focos: son los puntos fijos F y F’.
2.  Eje principal o real: es la recta que pasa por los focos.
3.  Eje secundario o imaginario: es la mediatriz del segmento FF’
4.  Centro: es el punto de intersección de los ejes.
5.  Vértices: los puntos A y A’ son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal. Los           puntos B y B’ se obtiene como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene         por centro uno de los vértices y de radio c.
6.  Radios vectores: son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.
7.  Distancia focal: es el segmento  de la longitud 2c.
8.  Eje mayor: es el segmento de longitud 2a.
9.  Eje menor: es el segmento de longitud 2b.
10.  Ejes de simetría: son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.
11.  Asíntotas: son las rectas de ecuaciones  
    
12.  Relación entre los semiejes:  

         ¿Cómo graficarla? 

Al graficar una hipérbola, puedes pensar en ella como una mezcla de dos parábolas – cada una con una perfecta imagen espectacular de la otra y cada una abriéndose una a la otra. La definición matemática de una hipérbole es el conjunto de todos los puntos donde la diferencia en la distancia entre dos puntos fijos (llamados focos) es constante. Las hipérbolas se presentan en dos tipos: horizontales y verticales.

·    Debido a que esta ecuación es para una hipérbola vertical, se encuentra que el centro (h, v) de esta hipérbola es (-1,3). Recuerde, los signos de los números dentro del paréntesis son opuestos a los de las coordenas del centro. También recuerde que h está dentro de los paréntesis con x y v no cambian de lugar. Las h y v siempre permanecen fieles a sus respectivas variables, x e y.

·    Desde el centro en el Paso 1, encuentra los ejes transversal y conjugado, sube y baja el eje transversal a una distancia de 4 (porque 42 está por debajo de y), y luego va a la derecha e izquierda 3 (porque 32 está por debajo de x). ¡Pero no conecte los puntos para obtener una elipse! Hasta ahora, los pasos para dibujar una hipérbola eran exactamente los mismos que para dibujar una elipse, pero aquí es donde se diferencian: los puntos que has marcado como a son tus vértices.

·   Utiliza estos puntos para dibujar un rectángulo que te ayudara a guiar la forma de tu hipérbola, ya que subiste y bajaste 4, la altura de tu rectángulo es 8; yendo a la izquierda y a la derecha 3 te da un ancho de 6.

·   Dibuja líneas diagonales a través del centro y las esquinas del rectángulo que se extienden más allá del rectángulo, este paso te da dos líneas que serán tus asíntotas.

·    A partir de cada vértice por separado, dibuje las curvas que se aproximan a las asíntotas cuando mas lejos se encuentren de los vértices de la curva. El gráfico se acerca a las asíntotas, pero nunca los toca, creando un rectángulo para graficar una hipérbola con asíntotas.